aardkrommings vraagje

Aardkromming. Wie kan mij uitleggen hoeveel de aardkromming bedraagt over bijv. 50km.(= afst. Nijkerk- Lopik). Ik zie nl. vanuit Nijkerk,  duidelijk de zendmast in Lopik staan, terwijl sommigen beweren dat dit onmogelijk het geva
kan zijn. Ik kan het niet uitrekenen!?

Voor dit vraagstuk moet je gebruik maken van de stelling van pythagoras en een goniometrie.

We kennen allemaal de stelling van pythagoras
A² + B² = C²

Om dat we 2 zijden niet kennen, moeten we die uitreken met goniometrie.

Uit het ezelsbruggetje SOSCASTOA kunnen we opmaken
- Sinus is Overstaande zijde gedeeld door Schuine zijde
- Cosinus is de Aanliggende zijde gedeeld door de Schuine zijde
- Tangens is de Overstaande zijde gedeeld door de Aanliggende zijde

De schuine zijde wordt ook wel hypothenusa genoemd.

Nu gaan we naar onderstaande afbeelding. Dat is een schematische voorstelling van een kwart van een cirkel.

We weten een aantal getallen.
C = straal van de aarde
D = straal van de aarde
E + A = straal van de aarde

Omtrek van de aarde: is 40.075 km aan de evenaar, 40.007 km aan de polen; Doorsnede van de aarde: 12.756 km over de evenaar, 12.714 km tussen de polen

De straal van de aarde is dus 6.378 km (laten we 6.400 nemen)
De omtrek van de aarde is wisselend, maar voor het gemak 40.000 km
Een cirkel is 360 graden
Dus het stukje van 50km is 1/800 van de omtrek van de totale omtrek van de aarde.
Dus de hoek is 360/800 (= 0,075 graad)

In de onderstaande tekening is die hoek zwaar overdreven, omdat het anders niet duidelijk is.

Voor de driehoek A,B,C weten we alleen de C (6.400 km).
Want:
A² + B² = 6.400²

Nu moeten we dus A of B gaan bereken met goniometrie.
Laten we B proberen uit te rekenen.
vanuit het middelpunt van cirkel is C de schuine zijde en B de overstaande zijde.
We weten inmiddels ook de hoek in dat punt. Die was 0,075 graad

Nu is het een kwestie van invullen.
Sinus = B/C
(oftewel B = C . Sinus van 0,075 graad)

A² + B² = 6.400²
A² + (C . Sinus van 0,075 graad)² = 6.400²
E = D - A (dat is het absolute hoogte verschil tussen de 2 plaatsen)

Het diepste punt tussen die 2 plaatsen is te krijgen, door I te bereken.
Daarvoor zul je eerst moeten berekenen wat F en G is
B2 + E2 = F2
F/2 = G
F/2 = ook H

Omdat in de driehoek G, I, J ook weer 2 onbekenden zijn, zul je weer een berekening moeten uitvoeren.

Hiervoor gebruiken we het 2e plaatje om F uit te rekenen.
De hoek in het middelpunt is nu de helft van het eerste plaatje.
dus 0,0375 graad.
De uitkomst van deze F vullen we dan in het eerste plaatje in en is dan gelijk aan J.

Dus van de driehoek G, I, J weet je dan G en J.
I kun je dan berekenen door nogmaals de stelling van Pythagoras te gebruiken.

Beste Robert,

Volgens mij is 360 graden gedeeld door 800 geen 0,075, maar 0,45

En hoe bereken je de sinus van 0,45 graden.

En nog iets nauwkeuriger.

r = 6400
d = 12800
omtrek cirkel:
= pi.diameter
= 3.14159265 x 12800
omtrek = 40212,385
dus 50 km is 804,24-ste deel van een cirkel
360 / 804,24 = 0,4476 graad
sinus(60) van 0,4476 = 0,0078
daaruit volgt dat B = 49,996 km

A2 + B2 = C2
dus A2 = C2 - B2
A2 = 40960000 - 2499,60
A = Wortel uit 40957500,4
A = 6399,80 km

Dus E (het hoogte verschil) tussen de 2 plaatsen is dus C - E = 0,195 km
dus dat is 195 meter.