De vraag die opkomt is natuurlijk welke formule je moet gebruiken. Is dit een functie van de vorm a^x of van de vorm x^a? Eigenlijk is het een combinatie van beide.
Een beetje theoretische achtergrond: Je weet dat de afgeleide f'(x)) kan bepaald worden door als de limiet van (f(x+h) - f(x))/h voor h -> 0. Het probleem is dat dit een combinatie van een exponentiële en een machtsfunctie is, dus deze limiet is niet zomaar te bepalen. Je moet deze functie dus herschrijven in een vorm die veel gemakkelijker is.
Je weet dat x gelijk is aan e^ln(x). Dit is een formule die je zou moeten kennen. We herschrijven nu de opgave:
(x^2+1)^(1/x) is gelijk aan e^ln((x^2+1)^(1/x)), waarbij ln het natuurlijk logaritme voorstelt.
We gebruiken nu de eigenschap: Het logaritme (zij het nu natuurlijk of niet) log(x^a) = a*log(x) (voor het natuurlijk dus: ln(x^a) = a*ln(x)
)
De opgave wordt dus: bereken de afgeleide van e^((1/x)*ln(x^2+1))
Wanneer je deze berekent kom je uit op:
(2/(x^2+1)-ln(x^2+1)/x^2)*(x^2+1)^(1/x)
9 Replies
17716 Views