Neoweb.nl

RCL-schakeling+differentiaalvergelijking

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

erikdeleer

RCL-schakeling+differentiaalvergelijking
« on: February 10, 2005, 03:23:53 PM »
Hallo,
Ik ben bezig met een onderzoek naar RCL-schakelingen voor mijn profielwerkstuk. Ik zit nu met een probleem  ??? :'(
We hebben namelijk de differentiaalvergelijking van de spoel gevonden..

L* dI/dt + I*R = U(o)
hieruit moeten we de I(t) zien te krijgen... zodat weer een grafiek van kunnen maken...waarin de I uit is gezet tegen de t.

Ook zoeken we de differentiaalvergelijking van de condensator op een dergelijke manier.

Weet ook iemand wat we in een RCL schakeling kunnen verwachten te zien...waarom er een weerstand gebruikt wordt... en wat er precies gebeurt...dus waarom we die resultaten zullen vinden.

Weet ook waarom de grafiek op een oscilloscoop met blokspanning er op een dergelijke manier uitziet van de spoel en de condensator??

Sorry voor de vele vragen 

Alvast bedankt
 O0

Offline D.Heusden

  • *****
  • 409
  • +28/-5
  • van nanotechnologie tot ruimtevaart
Re: RCL-schakeling+differentiaalvergelijking
« Reply #1 on: February 11, 2005, 07:36:41 PM »
Ik zou zeggen, begin gewoon met invullen van de formule
Neem voor t steeds een hogere waarde en maak hier een grafiekje van (desnoods in excel)

Bij een condensator speelt een ander probleem. Je hebt hier te maken met een soort exponentiele functie. met een limiet.

Ik kwam dit tegen via een zoekmachine:
Neem aan als randvoorwaarde dat VC = 0 op tijdstip t = 0, met andere woorden, de condensator is ongeladen bij ingebruikname van de schakeling.  Elk van de componenten wordt beschreven door een vergelijking.  De spanning over de spanningsbron is gelijk aan E.  Voor de weerstand geldt de wet van Ohm: VR = IR.  Voor de condensator geldt I = C dVC/dt.  Volgens Kirchhoff geldt VC+VR = E.  I en VR kunnen geëlimineerd worden en dus V+RC dV/dt = E waar voor het gemak V in plaats van VC geschreven wordt.  Dit is een differentiaalvergelijking met V als onbekende.  De oplossing van zo'n vergelijking bestaat niet uit een getalwaarde (zoals bij x2-5x+6 = 0 met oplossingen x = 2 en x = 3).  Een oplossing is een functie V(t), een grafiek van V als functie van de tijd t.  Een goede aanname is dat V(t) een exponentiële functie is, maar de vraag is: met welke offset, met welke vermenigvuldigingsfactor, en met welke tijdconstante?  Probeer V(t) = a+b.exp(ct).   Bij differentiëren valt een constante weg en de afgeleide van exp(ct) is c.exp(ct).  Dus geldt a+b.exp(ct) +RC.bc.exp(ct) = E  oftewel  b.(1+RC c).exp(ct) = E-a.  De linkerkant van de vergelijking hangt af van t maar de rechterkant is constant. Gelijkheid moet echter gelden voor alle t. Dat betekent dat de linkerkant nul is en de rechterkant ook. De mogelijkheid b = 0 moet verworpen worden omdat ze niet klopt met de randvoorwaarde V(0) = 0. Dus c = -1/RC en a = E oftewel V(t) = E+b.exp(-t/RC). Dit ziet er goed uit, immers het limietgeval waarin t naar oneindig gaat levert V(t) = E hetgeen klopt met de intuïtie dat na voldoende lange tijd de condensator wel tot de spanning E opgeladen zal zijn. De laatste constante b volgt uit de randvoorwaarde V(0) = 0. Invullen levert 0 = E+b.exp(0) en dus b = -E. De spanning over de condensator volgt dus het verloop V(t) = E(1-exp(-t/RC)). Dit verloop wordt "negatief-exponentieel" genoemd.