quiz vraagstuk

Ik hoorde laatst op een verjaardag dit vraagstuk:

Je zit bij een quiz en je hebt drie deuren. A, B & C
achter 2 deuren zit een geit achter 1 deur een mooie auto. ( je wilt natuurlijk de auto)
Je kiest een deur. Hij word nog niet geopend maar de quizmaster laat je zien wat er achter een andere deur zit. Daar zit een geit achter. Hij vraagt je nu of je nog wilt switchen of niet.

vraag: Is het verstanding om te switchen of niet?

Volgens mijn zus, die het weer uit een boek heeft, moet je switchen omdat je dan 2/3 kans op de auto zal hebben.

Wie is het er mee eens? wie niet? leuke discussie over gehad leek me ook een leuke discussie voor op het forum.

De kans is nu gewoon 1/2 geworden, omdat je simpelweg van 1 deur al weet wat erachter zit.

toch...

Ik denk altijd zo:

De quizmaster wil voor het publiek graag dat iemand de juiste deur kiest! ivm populariteit/kijkcijfers

De programma makers willen niet graag dat iemand de juiste deur kiest, ivm prijzengeld dat uitgekeerd moet worden.

Maar de quizmaster heeft misschien opdracht van de programma-makers om de prijs er niet uit te doen.
Andersom kan de quizmaster de programmamakers beinvloeden door de prijs er wel uit te laten gaan.

Robert ten Brink heeft nog wel eens de neiging iemand de juiste richting in te sturen. Al kan hij soms ook wel verwarrend overkomen.

de gamemaster kan je helpen of op het verkeerde been zetten!
psychologie speelt een belangrijke rol.

Maar je weet slechts één van de 3 opties namelijk de deur met één geit!
Dus achter die andere twee is de kans nog steeds even groot.
Omdat er één van de 3 opties wegvalt, is je kans van 1/3e (33,3%) vergroot naar 1/2 (50%)

De kans is gewoon 1 op 2, switchen heeft geen zin.

de kans is gewoon 1 op 2.

Ik heb vroeger in de colleges statistiek dit vraagstuk ook in de les gezien.
Het antwoordt is inderdaad niet 1/2, maar hoe het komt snapte ik ook niet zo goed   iets met kansberekeningen..

Ik ga het binnenkort eens even echt proberen te berekenen want heb het als voorbereidende vraag op een proef-studeermiddag gekregen. dus hopelijk binnenkort een goed antwoord met uitleg.

Ik heb hem denk ik. maar heb nog geen netjes bewijs opgeschreven dus dat komt later wel.
Het is slimmer om te switchen want dan heb je 2/3 kans op de geit.

Je hebt dus deur A, B en C.
Stel je voor je kiest deur C. op dit moment heb je dus bij elke deur 1/3 kans dat de auto daar staat.

Dan opent de quizmaster deur A. waarom? 1/3 kans omdat de auto inderdaad achter deur A staat en hij dus gewoon deur A of B moet openen. 0 kans omdat daar de auto achter deur A staat. 1 - 1/3 - 0 = 2/3 kans dus dat de deur achter deur B moet staan. Dus het is slimmer om te switchen.

volgens mij faalt hier de statistiek of staat ze buiten de werkelijkheid.

Op het moment dat de presentator deur B openmaakt, onstaat er een geheel nieuwe situatie.

De auto kan dan achter deur A of C staan. (en dat is een kans van 1 op 2, oftwel 50/50, 50 procent kans)

Je kan het namelijk ook anders uitleggen: stel je kiest deur A. Op dat moment is de kans dat de auto achter deur A of C staat ook 2/3. Dus kiezen voor A of C heeft een even grote kans van 50%

volgens mij faalt hier de statistiek of staat ze buiten de werkelijkheid.

Eigenlijk niet. Dit probleem moet je aanpakken met voorwaardelijke kans. Er is immers voorkennis.

In kansrekenen is er een stelling genaamd de stelling van Bayes. Deze geeft het verband tussen de voorwaardelijke kansen.

Stelling van Bayes:

P(A|B) = P(A)*P(B|A)/P(B)

Lees P(A|B) als:  "de kans dat A zich voordoet nadat B zich heeft voorgedaan"

waarbij P(B) gelijk is aan: P(A)*P(A|B)+P(niet A)*P(B|niet A)

We passen dit nu toe op het probleem van de 3 deuren

We kiezen een situatie: We nemen aan dat je eerst deur A kiest. De presentator opent dan bijvoorbeeld deur B.

gebeurtenissen:
A = auto zit achter A
B = auto zit achter B
C = auto zit achter C
Ob = presentator opent deur B

P(A|Ob) = P(A)*P(Ob|A)/P(Ob)

Waarbij:

P(Ob) = P(Ob|A)*P(A) + P(Ob|B)*P(B) + P(Ob|C)*P(C) = (1/2)*(1/3) + 0*(1/3) + 1*(1/3) = 1/2

In woorden voor wie het wat moeilijk vindt om te volgen: De kans dat de presentator deur B opent is gelijk aan:
(de kans dat de presentator deur B opent als de auto achter A zit)*(de kans dat de auto achter A zit) + (de kans dat de presentator deur B opent als de auto achter deur B zit...doet ie lekker niet dus )*(de kans dat de auto achter deur B zit) + (de kans dat de presentator deur B opent als de auto achter C zit...tjah nu kan ie niet anders )*(de kans dat de auto achter deur C zit)

De kans dat de auto achter A zit nadat de presentator deur B heeft geopend:
P(A|Ob) = P(A)*P(Ob|A)/P(Ob) = (1/3)*(1/2)/(1/2) = 1/3
De kans dat de auto achter C zit nadat de presentator deur B heeft geopend:
P(C|Ob) = P(C)*P(Ob|C)/P(Ob) = (1/3)*1/(1/2) = 2/3

Het is dus beter te switchen.

Wat ik nu uiteindelijk wilde zeggen: kansrekenen (niet te verwarren met statistiek btw) faalt hier niet, dit is een ALGEMENE formule voor het berekenen van voorwaardelijke kansen

Ik dacht vroeger ook dat het 1/2 kans was. Maar ik weet al een tijdje dat het 2/3 is en nu kan ik maar niet begrijpen dat sommige nog steeds denken dat het 1/2 is. XD

Mijn eerste reactie was (zoals bij zowat iedereen neem ik aan) dat het niet uitmaakt, ofwel: 50% kans op de auto.
Na het lezen van de reacties van de toch wel overtuigde mensen dat er van deur gewisseld moest worden ben ik ook maar eens aan het denken gegaan en verrek, ze hadden nog gelijk ook. Namelijk:

Ik gaan hier even uit van de 50% gedachte. Stel, je blijft altijd bij je 1e keuze. Er zijn 2 situaties:
- Je opent een deur. Je wint de auto (kans 1/3)
- Je opent een deur. Je wint de auto niet. (kans 2/3)
(Of je wel of niet van keuze verandert maakt trouwens niet uit, de helft van de keren raak je daarmee je kans op winnen kwijt, de andere helft win je juist. Het heft elkaar dus op).

Omdat de kans (2/3) dus 2x zo groot is dat de auto achter een van de andere twee deuren zit dan die je hebt gekozen ga je voor die.
Je kunt er namelijk van uitgaan dat als de auto daar zit, je hem ook wint want de presentator opent de overgebleven deur.

In andere woorden: je hebt in feite 2 groepen.
1: De deur die je als eerste kiest (Kans op auto: 1/3)
2: De deuren die je niet als eerste kiest (Kans op auto 2/3)
In beide groepen blijft uiteindelijk maar 1 deur over. Je hebt dus 2x zoveel kans als je van deur wisselt.

Ook heb ik voor de zekerheid even snel een 'simulatie' geschreven. Deze wijst ook uit dat je beter van deur kunt wisselen.

Ik vind het zelf logisch klinken zo, dus ik hoop dat iedereen die het nog niet duidelijk was, het nu ook snapt